A formiga, ser despresível e às vezes inoportuno, aparece aqui envolvido em um dilema. A questão, contudo, como se verá, vai além das capacidades deste inseto.
O problema é o seguinte:
Sabendo-se da enorme dimensão do planeta Terra, e imaginado-o uma esfera de superfície totalmente lisa, toma-se um fio inextensível e a circunda, por um círculo máximo, tipo a linha do Equador, de forma a não ficar folga alguma entre esse fio e a superfície lisa do planeta. Então, resolve-se aumentar o comprimento desse fio em um metro, o que resultará em uma folga nesse fio. Imagine, agora, que esse fio se folgue por inteiro em toda a extensão de seu comprimento. A pergunta é: por essa folga será possível passar uma formiga? Use para o tamanho da formiga qualquer tamanho compatível com esse ser.
A verdade é que o fato de o fio folgar-se a partir de somente um metro de acréscimo e, ainda, essa folga distribuir-se igualmente por toda a extensão do planeta liso e esférico, parece não deixar folga suficiente para a pobre formiga. Afinal, o Planeta é muito grande: um simples metro, míseros cem centímetros, que contribuição teria no aumento de seu raio? Seria equivalente a acrescentar uma gota d'água no aceano (comparação já feita). Ou, talvez, ela conseguisse pôr suas anteninhas por debaixo do fio e farejar o outro lado (outra comparação também já feita).
Complicado!
E se não fosse o nosso planeta, mas uma esfera da dimensão do Sol, cujo diâmetro é mais de cem vezes maior que o da Terra? A coisa parece que pioraria para a formiga.
Na verdade a formiga passará, qualquer que seja o tamanho da esfera, desde uma bola de futebol a uma esfera gigantesca e desde que a formiga não tenha mais do que desesseis centímetros, aproximadamente. Veja a explicação matemática:
O comprimento de uma circunferência é dado por:
C = 2 x pi x r (I), de onde se tira:
r = C/(2 x pi) (II)Se se acrescenta 1 metro no comprimento C, vem:
R = (C + 1)/(2 x pi) = C/(2 x pi) + 1/(2 x pi), (III), onde R (raio do fio) é o raio aumentado devido ao acréscimo no fio.
Ora, a primeira parcela do segundo membro, C/(2 x pi), de acordo com (II), equivale a r. Assim, temos para o novo raio:
R = r + 1/(2 x pi) (IV)
Concluímos daí que o raio aumentado é igual ao raio da esfera mais 15,9 cm, pois que este valor é um metro (100cm) dividido pelo dobro de pi (equação IV). Tal valor, que foge ao senso comum, é mais do que suficiente para passar qualquer formiga.
O raciocínio vale para qualquer esfera, qualquer que seja o raio: seja a Terra, seja o Sol,... o que quer que seja.- Rutinaldo
O problema é o seguinte:
Sabendo-se da enorme dimensão do planeta Terra, e imaginado-o uma esfera de superfície totalmente lisa, toma-se um fio inextensível e a circunda, por um círculo máximo, tipo a linha do Equador, de forma a não ficar folga alguma entre esse fio e a superfície lisa do planeta. Então, resolve-se aumentar o comprimento desse fio em um metro, o que resultará em uma folga nesse fio. Imagine, agora, que esse fio se folgue por inteiro em toda a extensão de seu comprimento. A pergunta é: por essa folga será possível passar uma formiga? Use para o tamanho da formiga qualquer tamanho compatível com esse ser.
A verdade é que o fato de o fio folgar-se a partir de somente um metro de acréscimo e, ainda, essa folga distribuir-se igualmente por toda a extensão do planeta liso e esférico, parece não deixar folga suficiente para a pobre formiga. Afinal, o Planeta é muito grande: um simples metro, míseros cem centímetros, que contribuição teria no aumento de seu raio? Seria equivalente a acrescentar uma gota d'água no aceano (comparação já feita). Ou, talvez, ela conseguisse pôr suas anteninhas por debaixo do fio e farejar o outro lado (outra comparação também já feita).
Complicado!
E se não fosse o nosso planeta, mas uma esfera da dimensão do Sol, cujo diâmetro é mais de cem vezes maior que o da Terra? A coisa parece que pioraria para a formiga.
Na verdade a formiga passará, qualquer que seja o tamanho da esfera, desde uma bola de futebol a uma esfera gigantesca e desde que a formiga não tenha mais do que desesseis centímetros, aproximadamente. Veja a explicação matemática:
O comprimento de uma circunferência é dado por:
C = 2 x pi x r (I), de onde se tira:
r = C/(2 x pi) (II)Se se acrescenta 1 metro no comprimento C, vem:
R = (C + 1)/(2 x pi) = C/(2 x pi) + 1/(2 x pi), (III), onde R (raio do fio) é o raio aumentado devido ao acréscimo no fio.
Ora, a primeira parcela do segundo membro, C/(2 x pi), de acordo com (II), equivale a r. Assim, temos para o novo raio:
R = r + 1/(2 x pi) (IV)
Concluímos daí que o raio aumentado é igual ao raio da esfera mais 15,9 cm, pois que este valor é um metro (100cm) dividido pelo dobro de pi (equação IV). Tal valor, que foge ao senso comum, é mais do que suficiente para passar qualquer formiga.
O raciocínio vale para qualquer esfera, qualquer que seja o raio: seja a Terra, seja o Sol,... o que quer que seja.- Rutinaldo
