Demonstração de Euclides do Teorema de Pitágoras:

O teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados de um triângulo retângulo. Tal conhecimento passou dos egípcios a Pitágoras, que o imortalizou. Existem outras demonstrações, mais simples até, porém sem a elegância geométrica que esta demonstração de Euclides apresenta. Pitágoras, grego, viveu por volta do ano 700 a.c e Euclides, de Alexandria, viveu por volta do ano 300 a.c., numa época de verdadeiro florescimento nas mais diversas áreas da Ciência.

A finalidade é mostrar que a área do quadrado AOMG é igual à área do quadrado AIHD e que BEFG é igual a BCHI, mostrando que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.

A reta definida por HL passa pelo centro do ângulo reto AGB e é ortogonal ao segmento AB.

Temos que GL= AB, pois ambos são a hipotenusa do triângulo; e AB = HI, pois que ABCD é uma quadrado. Logo GL=HI (Os triângulos ABG e igual ao triângulo GML). Assim sendo, as áreas dos quadriláteros AIHD e ANLG são igual, visto que tem a mesma base (HI = GL) e a mesma altura (AI).

Mas temos que as áreas dos quadriláteros ANLG e AOMG são também iguais, pois que tem a base AG em comum e a mesma altura AO.

Pelo silogismo grego, se Y=Z e Z=W, então Y=W, em termo de área vale:

AIHD = ANLG e ANLG = AOMG, então AIHD = AOMG.

Para mostrar que BEFG = BCHI segue-se de modo análogo.

Euclides mostra, desta forma puramente geométrica, que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. – Rutinaldo C.

Dimensões

Não. Não vou tratar das dimensões do espaço-tempo de Einstein! Tratarei de algo mais tangível, que é a comparação de grandezas que nos rodeiam no dia-a-dia. Dois astros do Universo: O Sol e a Terra.

Quão grande é nosso planeta? E o Sol?

Na fugura abaixo, a bolinha menor, onde está escrito "Terra” representa a nosso planeta e sua dimensão (um pontinho quase imperceptível acima da palavra "Terra"). Qual dentre as bolas brancas mais abaixo, representaria em tamanho o Sol? A, B ou C? Fique a vontade em achar que é a letra C.

Deixe sua postagem. - Rutinaldo C.

O Paradoxo do Submarino

De acordo com a teoria de Einstein, um corpo material ao atingir grande velocidade tem sua massa aumentada, mostrando que a relatividade também influencia na massa dos corpos e não somente nas grandezas vetoriais e temporais. Daí, decorre o seguinte paradoxo:

Um observador, da praia, ver um submarino submerso passar a altíssima velocidade e acelerando. Assim, sua massa será aumentada, tornando-o mais denso e, consequentemente, esse submarino se afundará mais na água. O movimento, no entanto, é relativo e para a tripulação do submarino é a água que passa em grande velocidade e tem sua massa aumentando, tornando-a, pois, mais densa, e, desta forma, o submarino, ao invés de se afundar, se emerge.

Qual dos dois observadores ( o da praia ou o tripulante) estará com a razão, ou seja, o submarino, de fato, sobe ou desce?

A resposta, veio com um brasileiro que, ao introduzir os conceitos de campos gravitacionais, chegou à solução do dilema.

Leia mais sobre e descubra se o submarino sobe ou desce nessas cirscunstâncias.- Rutinaldo C.

O paradoxo de Zenão.

No desenvolvimento da Matemática ao longo dos séculos, os grandes matemáticos conviveram com grandes problemas que não apresentavam solução. A lógica simplesmente não se encaixava. E se a lógica não funciona, tudo pode está errado e a própria realidade é posta em xeque.

Um problema perdurou séculos, mas a solução veio, após a criação do zero e um sistema de numeração simplificada (arte do indus). Um desses problema é dado a seguir:

Aquiles, um forte guerreiro renomado, disputa uma corrida contra uma tartaruga.

Ele larga cem metros atrás e corre dez vezes mais veloz do que a tartaruga. Assim, quando ele percorre cem metros a tartaruga terá percorrido dez metros, ficando, portanto, dez metros à frente do guerreiro. Quando este avançar dez metros que os separam, a tartaruga já terá percorrido um metro, ficando, pois, a tartaruga um metro ainda à frente. Quando Aquiles tira esse um metro que os separa, a tartaruga já terá corrido 10 centímetros, continuando, desta forma à frente do herói.

Seguindo o raciocínio, dá a entender que Aquiles jamais ultrapassará a tartaruga ou sequer a acompanhará.

Mas o é fato que, ninguém põe em questão a capacidade de o guerreiro ultrapassar a tartaruga.

Na Matemática mais primitiva, Aquiles não ultrapassava a tartaruga, e isso era um paradoxo, a matemática não condizia com a realidade.

Haveria um ponto em que o guerreiro alcançaria a tartaruga?

Você o que acha? Qual seria a solução?

Isso faz-nos lembrar um outro problema dado a seguir:

Um caracol acha-se preso em um buraco. Na tentativa de escapar, ele, a cada dia, durante o dia sobe metade do que falta para sair do buraco, mas à noite, quando descansa da tarefa, desliza e desce metade do que subiu naquele dia. Ainda assim, haverá certo progresso em sua tentativa. Esse caracol conseguirá sair desse buraco?

Deixe sua postagem.- Rutinaldo C.

Arquimedes, o infinitésimo e a área da circunferência.

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Arquimedes, que viveu por volta dos anos 200 a.c.,  é tido como um dos maiores cientistas da antiguidade e precursor do Cálculo Infinitesimal.

Naquela época ele já usava o número pi em aproximação de duas casas decimais e veja como calculava a área de uma circunferência usando a idéia de infinitésimos:

A circunferência é dividida em triângulos isósceles, que se desenrolam. Se forem muitos triângulos, tendendo para um número infinito (daí a idéia de infinitésimo), a altura destes tende para o comprimento do raio da circunferência. Assim, sobrepondo metade sobre metade deste total, resulta em um retângulo, cuja área e de base vezes altura. Veja a figura:

Agora, você é capaz de achar o valor do ângulo x no triângulo retângulo a seguir, onde a e b são dois angulos quaisquer. Você tem um minuto, tempo suficiente para raciocinar dentro do Cálculo Infinitesimal! - Rutinaldo

Incomensurabilidade

Esconder de quem, Pitágoras?

Pitágoras, um mostro da Matemática primitiva viveu no século VI a.c. Endeusava os números, atribuía-lhes poderes místicos, tratava uns números como amicais, outros como macho ou fêmea e fazia cultos especiais ao número 1, “pai de todos os números”.

A partir do conhecimento vindo da China, lançou um teorema, que ficou conhecido como “O Teorema de Pitágoras”: uma verdade absoluta sobre a relação entre os lados de um triângulo retângulo.

Pitágoras sabia na época, no entanto, que seu teorema tinha uma falha: Quando os catetos do triângulo eram iguais, seu teorema não funcionava, pois não haveria uma medida para a hipotenusa, a menos que um número qualquer pudesse ser par e ímpar ao mesmo tempo, o que na verdade é impossível, visto que a paridade de um número está diretamente ligada ao fato de ele ser ou não ser divisível por dois, sem admitir meio termo. Conta a História que a primeira atitude de Pitágoras frente a essa incoerência na matemática foi a de esconder tal fato dos olhos dos mais ativos.

Matemáticos e geômetras que o sucederam desde aquela época tentavam compreender o porquê da incomensurabilidade – os lados do triângulo não tinham medida em comum – e a solução só veio 25 séculos depois, ou seja, no século XVIII, quando foi necessário a criação dos números irracionais para suprir essa deficiência da Matemática.

 

De (II) vemos agora que, pelo mesmo raciocínio desenvolvido acima, n é par. Como pode?! O número n é par e ímpar ao mesmo tempo? Quer dizer que o número n é ao mesmo tempo divisível e não divisível por dois? Isso seria um absurdo!

Esse absurdo conviveu com os matemáticos e forçou, vinte e cinco séculos depois, a criação de um novo conjunto de números, (os números irracionais), depois de muitos sérios estudos sobre a Teoria da Continuidade de uma função, abrindo espaço na reta e introduzindo um novo conjunto numérico. – Rutinaldo

Ondas Gravitacionais

Einstain com dois princípios mostrou-nos uma realidade até então não admitida.
Um Princípio é o de a velocidade da luz apresentar sempre a mesma velocidade limite qualquer que seja o referencial. Por exemplo, uma partícula atômica viajando com uma velocidade próxima à da luz ao emitir um feixe de luz, esta, a luz, não terá sua velocidade ampliada pelo fato de o ponto gerador da luz já se encontrar com uma velocidade inicial. Experimentos deste tipo veio confirmar a máxima velocidade (a velocidade da luz no vácuo) que uma partícula pode adquirir.
Imagine, então, dois corpos celestes A e B orbitando um ao outro pela força gravitacional (de Newton). Imagine que o corpo A mude de forma subitamente, o que causará influência na força gravitacional que será “sentida” pelo corpo B. Esta “sensibilidade” em B ocorrerá instantaneamente à mudança de forma pelo corpo A?
Segundo Einstain, a interação não pode ser instantânea, pois que nenhuma interação pode ocorrer com uma velocidade maior que a da luz, e que, portanto, levaria um certo tempo enquanto essa interação percorresse o espaço para afetar o outro corpo. Ao percorrer o espaço, porém, essa força se traduziria em ondas gravitacionais se propagando, que ainda não foram detectadas. Essas ondas podem existir? - Rutinaldo

O problema do Garçom

Um problema clássico de contabilidade é dado a seguir:
Três jovens entraram em um restaurante para almoçar. Eles dispunham de apenas R$10.00 cada um, perfazendo um total de 30 reais ao todo. A conta de cada um deu R$9.00. Cada um dos jovens, ao pagar a conta, entregou, então, suas nota de R$10.00 ao garçom. Ao chegar ao caixa, o dono do estabelecimento resolveu fazer um desconto de R$5.00 sobre a conta total, pois os jovens eram conhecidos seu. O garçom, esperto, embolsou dois reais para ele próprio, devolvendo o troco como se não houvesse o tal desconto, entregando normalmente a cada jovem R$1.00 de troco, pois que a conta de cada um foi de nove reais.
O dilema é o seguinte:
Três almoços de nove reais. Então nove vezes três é igual a vinte e sete (9 x 3 = 27), mais dois reais que o garçom embolsou soma vinte e nove (27 + 2 = 29).
Mas a quantia inicial era de trinta reais! Onde foi parar o outro real? Você seria capaz de desvendar o mistério e dizer onde foi parar R$ 1.00?
Lembre-se: nove vezes três dá vinte e sete; mais dois do garçom, dão vinte e nove. Falta R$1.00! - Rutinaldo

Numeração

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Linguagem Digital

Quando se pode dizer que a tecnologia é digital? Digital “vem” de dedos?

Na verdade, digital se associa hoje ao fato de se usar a numeração binária através de circuitos. Os números são 0 e 1. Um circuito elétrico só admite duas possibilidades: ou ele está ligado, eu está desligado. Mas, como funciona a numeração binária?

A nossa numeração comum, a decimal, compõe-se de dez algarismos ( de 0 a 9), e esse muda de valor conforme sua posição.

Por exemplo, 111 quer dizer que são 100 + 10 +1, ou seja, 1x100 + 1x10 + 1x1. Isso quer dizer que a cada casa avançada para a esquerda o numeral se multiplica por dez, e essa capacidade posicional permite a linguagem simplificada de qualquer número, o maior que se imaginar, com apenas dez “dígitos”.

E com apenas dois dígitos? Será possível a mesma façanha com apenas dois numerais em vez de dez?

Na numeração binária, para cada posição avançada à esquerda o número se multiplica por dois (na decimal multiplica-se por dez).

Vejamos: 111 quer dizer, na linguagem binária, 1x4 +1x2 + 1x1 = 4 + 2 + 1 = 7

Resumindo o exemplo:

Numeração decimal: 111 = 10² + 10¹ + 10⁰ = 100 + 10 +1 = 111 (cento e onze)

Numeração binária: 111 = 2² + 2¹ + 2⁰ = 4 + 2 + 1 = 7 (sete)

Que número então seria, então, 1010011010 na numeração binária?

Siga o raciocínio acima e descubra! - Rutinaldo

O Problema Das Moedas

Dado um conjundo de doze moedas, tem-se que uma única é de peso diferente, para mais ou para menos. Dispõe-se de uma balança de equilíbrio, com a qual se é possível comparar os pesos entre as moedas. Sabe-se que em apenas três comparações (pesagem com uso da balança) pode se identificar a moeda de peso diferente. É-se ainda capaz de identificar se a moeda é mais leve ou mais pesada que as demais, informação que ainda não se tem. Quer tentar? Poste sua resposta.

Entre em contato para ter a solução passo a passo em slide show, mas só a terá quem postar solução, mesmo que inconclusa eu incorreta. - Rutinaldo  C.