Demonstração de Euclides do Teorema de Pitágoras:

O teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados de um triângulo retângulo. Tal conhecimento passou dos egípcios a Pitágoras, que o imortalizou. Existem outras demonstrações, mais simples até, porém sem a elegância geométrica que esta demonstração de Euclides apresenta. Pitágoras, grego, viveu por volta do ano 700 a.c e Euclides, de Alexandria, viveu por volta do ano 300 a.c., numa época de verdadeiro florescimento nas mais diversas áreas da Ciência.

A finalidade é mostrar que a área do quadrado AOMG é igual à área do quadrado AIHD e que BEFG é igual a BCHI, mostrando que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.

A reta definida por HL passa pelo centro do ângulo reto AGB e é ortogonal ao segmento AB.

Temos que GL= AB, pois ambos são a hipotenusa do triângulo; e AB = HI, pois que ABCD é uma quadrado. Logo GL=HI (Os triângulos ABG e igual ao triângulo GML). Assim sendo, as áreas dos quadriláteros AIHD e ANLG são igual, visto que tem a mesma base (HI = GL) e a mesma altura (AI).

Mas temos que as áreas dos quadriláteros ANLG e AOMG são também iguais, pois que tem a base AG em comum e a mesma altura AO.

Pelo silogismo grego, se Y=Z e Z=W, então Y=W, em termo de área vale:

AIHD = ANLG e ANLG = AOMG, então AIHD = AOMG.

Para mostrar que BEFG = BCHI segue-se de modo análogo.

Euclides mostra, desta forma puramente geométrica, que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. – Rutinaldo C.