Arquimedes, o infinitésimo e a área da circunferência.

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Arquimedes, que viveu por volta dos anos 200 a.c.,  é tido como um dos maiores cientistas da antiguidade e precursor do Cálculo Infinitesimal.

Naquela época ele já usava o número pi em aproximação de duas casas decimais e veja como calculava a área de uma circunferência usando a idéia de infinitésimos:

A circunferência é dividida em triângulos isósceles, que se desenrolam. Se forem muitos triângulos, tendendo para um número infinito (daí a idéia de infinitésimo), a altura destes tende para o comprimento do raio da circunferência. Assim, sobrepondo metade sobre metade deste total, resulta em um retângulo, cuja área e de base vezes altura. Veja a figura:

Agora, você é capaz de achar o valor do ângulo x no triângulo retângulo a seguir, onde a e b são dois angulos quaisquer. Você tem um minuto, tempo suficiente para raciocinar dentro do Cálculo Infinitesimal! - Rutinaldo

Incomensurabilidade

Esconder de quem, Pitágoras?

Pitágoras, um mostro da Matemática primitiva viveu no século VI a.c. Endeusava os números, atribuía-lhes poderes místicos, tratava uns números como amicais, outros como macho ou fêmea e fazia cultos especiais ao número 1, “pai de todos os números”.

A partir do conhecimento vindo da China, lançou um teorema, que ficou conhecido como “O Teorema de Pitágoras”: uma verdade absoluta sobre a relação entre os lados de um triângulo retângulo.

Pitágoras sabia na época, no entanto, que seu teorema tinha uma falha: Quando os catetos do triângulo eram iguais, seu teorema não funcionava, pois não haveria uma medida para a hipotenusa, a menos que um número qualquer pudesse ser par e ímpar ao mesmo tempo, o que na verdade é impossível, visto que a paridade de um número está diretamente ligada ao fato de ele ser ou não ser divisível por dois, sem admitir meio termo. Conta a História que a primeira atitude de Pitágoras frente a essa incoerência na matemática foi a de esconder tal fato dos olhos dos mais ativos.

Matemáticos e geômetras que o sucederam desde aquela época tentavam compreender o porquê da incomensurabilidade – os lados do triângulo não tinham medida em comum – e a solução só veio 25 séculos depois, ou seja, no século XVIII, quando foi necessário a criação dos números irracionais para suprir essa deficiência da Matemática.

 

De (II) vemos agora que, pelo mesmo raciocínio desenvolvido acima, n é par. Como pode?! O número n é par e ímpar ao mesmo tempo? Quer dizer que o número n é ao mesmo tempo divisível e não divisível por dois? Isso seria um absurdo!

Esse absurdo conviveu com os matemáticos e forçou, vinte e cinco séculos depois, a criação de um novo conjunto de números, (os números irracionais), depois de muitos sérios estudos sobre a Teoria da Continuidade de uma função, abrindo espaço na reta e introduzindo um novo conjunto numérico. – Rutinaldo

Ondas Gravitacionais

Einstain com dois princípios mostrou-nos uma realidade até então não admitida.
Um Princípio é o de a velocidade da luz apresentar sempre a mesma velocidade limite qualquer que seja o referencial. Por exemplo, uma partícula atômica viajando com uma velocidade próxima à da luz ao emitir um feixe de luz, esta, a luz, não terá sua velocidade ampliada pelo fato de o ponto gerador da luz já se encontrar com uma velocidade inicial. Experimentos deste tipo veio confirmar a máxima velocidade (a velocidade da luz no vácuo) que uma partícula pode adquirir.
Imagine, então, dois corpos celestes A e B orbitando um ao outro pela força gravitacional (de Newton). Imagine que o corpo A mude de forma subitamente, o que causará influência na força gravitacional que será “sentida” pelo corpo B. Esta “sensibilidade” em B ocorrerá instantaneamente à mudança de forma pelo corpo A?
Segundo Einstain, a interação não pode ser instantânea, pois que nenhuma interação pode ocorrer com uma velocidade maior que a da luz, e que, portanto, levaria um certo tempo enquanto essa interação percorresse o espaço para afetar o outro corpo. Ao percorrer o espaço, porém, essa força se traduziria em ondas gravitacionais se propagando, que ainda não foram detectadas. Essas ondas podem existir? - Rutinaldo

O problema do Garçom

Um problema clássico de contabilidade é dado a seguir:
Três jovens entraram em um restaurante para almoçar. Eles dispunham de apenas R$10.00 cada um, perfazendo um total de 30 reais ao todo. A conta de cada um deu R$9.00. Cada um dos jovens, ao pagar a conta, entregou, então, suas nota de R$10.00 ao garçom. Ao chegar ao caixa, o dono do estabelecimento resolveu fazer um desconto de R$5.00 sobre a conta total, pois os jovens eram conhecidos seu. O garçom, esperto, embolsou dois reais para ele próprio, devolvendo o troco como se não houvesse o tal desconto, entregando normalmente a cada jovem R$1.00 de troco, pois que a conta de cada um foi de nove reais.
O dilema é o seguinte:
Três almoços de nove reais. Então nove vezes três é igual a vinte e sete (9 x 3 = 27), mais dois reais que o garçom embolsou soma vinte e nove (27 + 2 = 29).
Mas a quantia inicial era de trinta reais! Onde foi parar o outro real? Você seria capaz de desvendar o mistério e dizer onde foi parar R$ 1.00?
Lembre-se: nove vezes três dá vinte e sete; mais dois do garçom, dão vinte e nove. Falta R$1.00! - Rutinaldo

Numeração

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Linguagem Digital

Quando se pode dizer que a tecnologia é digital? Digital “vem” de dedos?

Na verdade, digital se associa hoje ao fato de se usar a numeração binária através de circuitos. Os números são 0 e 1. Um circuito elétrico só admite duas possibilidades: ou ele está ligado, eu está desligado. Mas, como funciona a numeração binária?

A nossa numeração comum, a decimal, compõe-se de dez algarismos ( de 0 a 9), e esse muda de valor conforme sua posição.

Por exemplo, 111 quer dizer que são 100 + 10 +1, ou seja, 1x100 + 1x10 + 1x1. Isso quer dizer que a cada casa avançada para a esquerda o numeral se multiplica por dez, e essa capacidade posicional permite a linguagem simplificada de qualquer número, o maior que se imaginar, com apenas dez “dígitos”.

E com apenas dois dígitos? Será possível a mesma façanha com apenas dois numerais em vez de dez?

Na numeração binária, para cada posição avançada à esquerda o número se multiplica por dois (na decimal multiplica-se por dez).

Vejamos: 111 quer dizer, na linguagem binária, 1x4 +1x2 + 1x1 = 4 + 2 + 1 = 7

Resumindo o exemplo:

Numeração decimal: 111 = 10² + 10¹ + 10⁰ = 100 + 10 +1 = 111 (cento e onze)

Numeração binária: 111 = 2² + 2¹ + 2⁰ = 4 + 2 + 1 = 7 (sete)

Que número então seria, então, 1010011010 na numeração binária?

Siga o raciocínio acima e descubra! - Rutinaldo

O Problema Das Moedas

Dado um conjundo de doze moedas, tem-se que uma única é de peso diferente, para mais ou para menos. Dispõe-se de uma balança de equilíbrio, com a qual se é possível comparar os pesos entre as moedas. Sabe-se que em apenas três comparações (pesagem com uso da balança) pode se identificar a moeda de peso diferente. É-se ainda capaz de identificar se a moeda é mais leve ou mais pesada que as demais, informação que ainda não se tem. Quer tentar? Poste sua resposta.

Entre em contato para ter a solução passo a passo em slide show, mas só a terá quem postar solução, mesmo que inconclusa eu incorreta. - Rutinaldo  C.

A Peleja da Formiga

A formiga, ser despresível e às vezes inoportuno, aparece aqui envolvido em um dilema. A questão, contudo, como se verá, vai além das capacidades deste inseto.
O problema é o seguinte:
Sabendo-se da enorme dimensão do planeta Terra, e imaginado-o uma esfera de superfície totalmente lisa, toma-se um fio inextensível e a circunda, por um círculo máximo, tipo a linha do Equador, de forma a não ficar folga alguma entre esse fio e a superfície lisa do planeta. Então, resolve-se aumentar o comprimento desse fio em um metro, o que resultará em uma folga nesse fio. Imagine, agora, que esse fio se folgue por inteiro em toda a extensão de seu comprimento. A pergunta é: por essa folga será possível passar uma formiga? Use para o tamanho da formiga qualquer tamanho compatível com esse ser.
A verdade é que o fato de o fio folgar-se a partir de somente um metro de acréscimo e, ainda, essa folga distribuir-se igualmente por toda a extensão do planeta liso e esférico, parece não deixar folga suficiente para a pobre formiga. Afinal, o Planeta é muito grande: um simples metro, míseros cem centímetros, que contribuição teria no aumento de seu raio? Seria equivalente a acrescentar uma gota d'água no aceano (comparação já feita). Ou, talvez, ela conseguisse pôr suas anteninhas por debaixo do fio e farejar o outro lado (outra comparação também já feita).
Complicado!
E se não fosse o nosso planeta, mas uma esfera da dimensão do Sol, cujo diâmetro é mais de cem vezes maior que o da Terra? A coisa parece que pioraria para a formiga.

Na verdade a formiga passará, qualquer que seja o tamanho da esfera, desde uma bola de futebol a uma esfera gigantesca e desde que a formiga não tenha mais do que desesseis centímetros, aproximadamente. Veja a explicação matemática:
O comprimento de uma circunferência é dado por:

C = 2 x pi x r (I), de onde se tira:

r = C/(2 x pi) (II)Se se acrescenta 1 metro no comprimento C, vem:

R = (C + 1)/(2 x pi) = C/(2 x pi) + 1/(2 x pi), (III), onde R (raio do fio) é o raio aumentado devido ao acréscimo no fio.

Ora, a primeira parcela do segundo membro, C/(2 x pi), de acordo com (II), equivale a r. Assim, temos para o novo raio:

R = r + 1/(2 x pi) (IV)
Concluímos daí que o raio aumentado é igual ao raio da esfera mais 15,9 cm, pois que este valor é um metro (100cm) dividido pelo dobro de pi (equação IV). Tal valor, que foge ao senso comum, é mais do que suficiente para passar qualquer formiga.
O raciocínio vale para qualquer esfera, qualquer que seja o raio: seja a Terra, seja o Sol,... o que quer que seja.- Rutinaldo